四川省绵阳市南山中学高三数学下学期入学考试试题 文 新人教A版

2014 年 2 月 20 日下午 3:00—5:00

南山中学 2014 届高三下学期入学考试 数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

3.若 a , b 是两个单位向量,则“ 3a ? 4b ? 5 ”是“ a ? b ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.函数 f ( x) ? A. (? ,?? ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 的定义域是

ln(3x ? 1) 1? x

1 3

B. ( ? ,1)

1 3

C. [ ? ,1)

1 3

D. ( ?? ,? )

1 3

5.已知一个算法的程序如图所示,若输出的结果 为 3,则可输入的实数 x 的值的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.设等差数列 {an } 的公差为 d, 若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为 1,则 d 等于 A.

1 2 1 2

B. 1 D. ±1

C. ?

7.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点 P,那么使得 △ABP 与△ADP 的面积都不小于 1 的概率为 A.

4 9

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 5

8.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的*面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是

A.①③ C.③④

B.①② D.②③

9.设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,与直线 y ? b 相切的⊙ F2 交椭圆于点 E,且点 E 是直 线 EF1 与⊙ F2 的切点,则椭圆的离心率为

A.

3 2 5 4

B.

3 3 5 3

C.

D.

?4 ? 8 x ? 12 (1 ? x ? 2) ? 10.已知定义在[1,+∞)上的函数 f ( x) ? ? 1 ,则 x f( ) ( x ? 2) ? ? 2 2
A. 函数 f ( x) 的值域为[1,4];

1 B. * 关于 x 的方程 f ( x ) ? n ? 0 (n∈N )有 2n ? 4 个不相等的实数根; 2
C. n﹣1 n * 当 x∈[2 ,2 ](n∈N )时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成的面积为 2; D. 存在实数 x0 ,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为 12.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x ? y ? 1
2 2



相交于 A,B 两点,且 | AB |? 值是__________。

3 ,则 OA ? OB 的

? x ? 0, ? 13.已知 x 、 y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 , ? y ? 0, ?
则u ?

y ?1 的取值范围是_________。 x?2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.其中,16—19 题每小题满分为 12 分,20 题为 13 分,21 题 14 分;解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ;{bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且

b2 S 2 ? 64 , b5 S5 ? 960.
(Ⅰ)求通项公式 an 与 bn ; (Ⅱ)求

1 1 1 ? ??? S1 S 2 Sn

17.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成 绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如 下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率; (Ⅱ)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的 100+110 中点值为 =105.)作为这组数据的*均分,据此,估计本次考 2 试的*均分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样 本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率. 18.已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos2 x 的图像经过点 A(0,1) 、 B( (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)已知 x ? [0,

?
4

,1) 。

?
4

] ,且 f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 ,求 f (

?
24

) 的值。

?ABC ? 60? 19.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 1, AC ? AA 1 ? 3,
(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)求直线 BC1 与*面 ACC1 A1 所成角的正切值。 (Ⅲ)求点 A 到*面 A1 BC 的距离。

A1
B1
A B A

C1

C

x2 y2 20. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过(1,1)与( a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;



)两点.

(Ⅱ)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 MA ? MB .求证:

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

为定值.

1 2 . x , f 2 ( x) ? a ln x (其中 a ? 0 ) 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的极值; 1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? 1) x 在区间 ( , e) 内有两个零点,求正实数 a 的取值范 e 围; 3 1 (Ⅲ)求证:当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . (说明:e 是自然对数的底数,e=2.71828…) 4x e

21.已知函数 f1 ( x) ?

绵阳南山中学 2014 年春季高 2011 级二月月考 文科数学试题参考答案 一.选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 D 10 C

得到:当 x∈[2

n﹣1

,2 ](n∈N )时,

n

*

可得:

,故 D 不正确.综上可知:只有 C 正确.故选 C.

二.填空题 11. 24+12π 12. ?

1 2
14.

13. [ ,1]

1 4

3

15. [ ,?? )

3 2

三.解答题 n- 16. 解: (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn=q
1

. 6 ? ?d=-5, 或? 40 ? ? q= 3 .

? ?S2b2= 依题意有 ? ?S3b3= ?

+d

q=64,
2

+3d q =960,

? ?d=2, 解得 ? ?q=8 ?

( 舍去 ) …… 4

分 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8
n-1

.

………………………6 分

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),

…………8 分

所 以

1

S1



1

S2

+ … +

1

Sn



1 1 1 + + + … + 1×3 2×4 3×5 n

1 n+



1 2

?1-1+1-1+1-1+…+1- 1 ?…10 分 ? 3 2 4 3 5 n n+2? ? ?
1 1 ? 3 1? 1 2n ? 3 - = ?1+ - = - ………………………12 分 2 n+1 n+2? 2? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 17. 解: (1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7= 0.3. …… …3 分 (2) 估 计 * 均 分 为 x = 95×0.1 + 105×0.15 + 115×0.15 + 125×0.3 + 135×0.25 + 145×0.05=121. …… …6 分 (3) 由题意, [110,120) 分数段的人数为 60×0.15= 9( 人 ) . [120,130) 分数段的人数为 60×0.3=18(人). … ……7 分 ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n;在[120,130)分数段内抽取 4 人, 并 分 别 记 为

a



b



c



d;
设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A,

………8 分

则基本事件共有(m,n),(m,a),…,(m,d),(n,a),…,(n,d),(a,b),…,(c,d) 共 15 种. 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b), (n 种. 分 ∴ 3 . 5 ,

c)



(n



d)



9 ………11

P(A)



9 15 ………12 分



18.







1





? f (0) ? 1, ? ? ? f ( ) ? 1, ? ? 4





?a ? c ? 1, ? ?a ? b ? 1,



b ? c ? 1 ? a,? f ( x) ? 2 (1 ? a) sin(2x ?
? a ? 1,? 当 2k? ?

?
4

)? a。

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?

3 ? (k ? Z ) ,即 k? ? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 8 8

时, f ( x) 为增函数。 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? ? , k? ? ………6 分 (2)? x ? [0,

3 8

?
8

]( k ? Z ) 。

?
4

],? 2 x ?

?

? 3? ? [ , ] ,即有 sin(2 x ? ? ) ? [ 2 ,1] 。 4 4 4 4 2
2 (1 ? a) ? a ? 2 2 ? 1 ,得 a ? ?1 ;
2 (1 ? a) ? 2 ? a ? 2 2 ? 1 ,无解; 2

当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ? 当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ?

当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ? a ? 2 2 ? 1 ,矛盾。 故

f ( x) ? 2 2 sin(2 x ?
………12 分

?
4

) ? 1,? f (

?
24

)?2 2?

3 ?1 ? 6 ?1 2



19.(1)证明:∵ ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 3 , ?ABC ? 60? ,

∴由正弦定理有

3 1 i s ?A C B ? , ∴n sin 60? sin ?ACB

?

1 , 又 AB ? AC , ∴ ?ACB ? 30? 。 2

从而 ?BAC ? 90? ,即 AB ? AC , 又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? *面 ABC ,∴ AB ? AA 1, ∴ AB ? *面 ACC1 A1 ,∴ AB ? A1C ………4 分

(2)∵ AB ? *面 ACC1 A1 ,∴直线 BC1 与*面 ACC1 A1 所成的角为 ?BC1 A , 在 Rt?BC1 A 中 AB=1, AC1 ?

AC 2 ? AA1 ? 6 , ∴ tan?BC1 A ?

2

AB 6 ……… ? AC1 6

8分 (3)(略)(利用等积变换) 12 分

15 5

………

20. 解: (Ⅰ)将(1,1)与(



)两点代入椭圆 C 的方程,



解得



∴椭圆 PM2 的方程为



………4 分

(Ⅱ)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直*分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对 称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .………6 分

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 = .………8 分

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) , 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



解得







=



………10 分

同理



………11 分

所以 故

=2× =2 为定值.

+

=2, ………13 分

1 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ax 2 ? ln x , 2 1 1 ∴ f ?( x) ? ax ln x ? ax ? ax(2 ln x ? 1) ( x ? 0 , a ? 0 ) , 2 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e
? 1

?

1 2

,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e 2 ,
? 1

?

1

故函数 f ( x) 在 (0,e 2 ) 上单调递减,在 (e 2 , ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的极小值为 f (e 2 ) ? ? (Ⅱ)函数 g ( x) ?
? 1

a ,无极大值. ··········· 4 分 4e

1 2 x ? a ln x ? (a ? 1) x , 2 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) 则 g ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? , ? x x x 令 g ?( x) ? 0 ,∵ a ? 0 ,解得 x ? 1 ,或 x ? ?a (舍去) , ? 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 1 函数 g ( x) 在区间 ( , e) 内有两个零点, e a ?1 2e ? 1 ? ? 1 ? ? a ? 0, a? 2 , ? 1 2 ? ? e 2e ? 2e ? g ( e ) ? 0, ? 2e ? ? 1 ?1 ? 只需 ? g (1) ? 0, 即 ? ? a ? 1 ? 0, ∴ ?a ? , 2 2 ? g (e) ? 0, ? ? 2 ? ?e ? 2e ? e 2 , ? ? ? (a ? 1)e ? a ? 0, ?a ? 2e ? 2 ?2 ? 2e ? 1 1 故实数 a 的取值范围是 ( 2 , ) . ················· 9 分 2e ? 2e 2 x2 3 1 (Ⅲ)问题等价于 x 2 ln x ? x ? .由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ln x 的最小值为 ? . e 4 2e 2 x 3 x( x ? 2) 设 h( x) ? x ? , h?( x) ? ? 得 h( x) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减. e 4 ex 4 3 ∴ h( x) max ? h(2) ? 2 ? , e 4 3e2 ? 2e ? 16 (3e ? 8)(e ? 2) 1 4 3 3 1 4 ? ?0, ∵? ?( 2 ? ) ? ? ? 2 =? 4e2 4e2 2e e 4 4 2e e x2 3 3 1 ∴ f ( x) min ? h( x) max ,∴ x 2 ln x ? x ? ,故当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . 14 分 e 4 4x e


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